以下の4つの式を因数分解します。 (1) $4x^2 + 20xy + 21y^2$ (2) $64x^3 - 125y^3$ (3) $9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$ (4) $x^4 - 7x^2 - 18$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解します。

(1) $4x^2 + 20xy + 21y^2$

(2) $64x^3 - 125y^3$

(3) $9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$

(4) $x^4 - 7x^2 - 18$

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 + 20xy + 21y^2$

これは、$ax^2 + bxy + cy^2$ の形の式です。たすき掛けを使って因数分解を試みます。

$4x^2$ の項は $2x \times 2x$ または $4x \times x$ と分解できます。

$21y^2$ の項は $3y \times 7y$ または $1y \times 21y$ と分解できます。

$2x$と$2x$, $3y$と$7y$で試すと、$(2x+3y)(2x+7y) = 4x^2 + 14xy + 6xy + 21y^2 = 4x^2 + 20xy + 21y^2$となり、うまくいきます。

(2) $64x^3 - 125y^3$

これは、$a^3 - b^3$ の形の式です。公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$64x^3 = (4x)^3$ であり、$125y^3 = (5y)^3$ なので、$a = 4x$、$b = 5y$ となります。

したがって、$64x^3 - 125y^3 = (4x - 5y)((4x)^2 + (4x)(5y) + (5y)^2) = (4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)$ となります。

(3) $9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$

この式は、$9x^2 - (4y^2 - 4y + 1)$ と変形できます。

$(4y^2 - 4y + 1)$ は $(2y - 1)^2$ と因数分解できるので、$9x^2 - (2y - 1)^2$ となります。

これは、$a^2 - b^2$ の形の式なので、公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を利用します。

$a = 3x$、$b = 2y - 1$ とすると、$9x^2 - (2y - 1)^2 = (3x + (2y - 1))(3x - (2y - 1)) = (3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)$ となります。

(4) $x^4 - 7x^2 - 18$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 7t - 18$ となります。

これは、$(t - 9)(t + 2)$ と因数分解できます。

$t = x^2$ なので、$x^4 - 7x^2 - 18 = (x^2 - 9)(x^2 + 2)$ となります。

$x^2 - 9$ は、$a^2 - b^2$ の形なので、$(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できます。

したがって、$x^4 - 7x^2 - 18 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x + 3y)(2x + 7y)$

(2) $(4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)$

(3) $(3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)$

(4) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$