与えられた分数の式を簡単にする問題です。分数は $\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡単にする問題です。分数は $\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$ です。

2. 解き方の手順

この分数の分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{5} + 2$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}$

分子を展開します：

$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(2) + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

分母を展開します：

$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{1} = 9 + 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$9 + 4\sqrt{5}$