与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

次に、この式を整理して因数分解しやすい形にします。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = (a^2b + ab^2 + abc) + (b^2c + bc^2 + abc) + (c^2a + ca^2) - abc$

$= ab(a+b+c) + bc(b+c+a) + ca(c+a) - abc$

すべての項に $abc$ を加えて、再び引くことで、共通因数を作り出します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2b + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^2a + ca^2$

$= ab(a+b+c) + bc(b+c) + ca(c+a)$

$= ab(a+b+c) + bc(b+c+a) + ca(c+a)$

$= ab(a+b) + abc + bc(b+c) + abc + ca(c+a)$

$=ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

ここで、式を次のように並べ替えてみます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = (a^2b + ca^2 + abc) + (ab^2 + b^2c + abc) + (bc^2 + c^2a) -2abc + 2abc$

$= a(ab + ca + bc) + b(ab + bc) +c(bc+ca)$

$=a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

式を $a$ について整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$