(1) $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_n C_k$ の値を求める。 (2) $\sum_{k=0}^{n} {}_{2n}C_{2k}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_n C_k$ の値を求める。

(2) $\sum_{k=0}^{n} {}_{2n}C_{2k}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^{n-k} y^k$ を利用する。

$x=1$, $y=-1$ を代入すると、

$(1-1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k 1^{n-k} (-1)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_n C_k$

よって、$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_n C_k = 0^n = 0$ （ただし、$n \neq 0$）。$n=0$ のときは、${}_0 C_0 = 1$。

(2) 二項定理 $(1+1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} {}_{2n}C_k$ と $(1-1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} {}_{2n}C_k (-1)^k$ を利用する。

$(1+1)^{2n} = {}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_3 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = 2^{2n}$

$(1-1)^{2n} = {}_{2n}C_0 - {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_2 - {}_{2n}C_3 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = 0$

2つの式を足し合わせると、

$2({}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n}) = 2^{2n}$

よって、${}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = 2^{2n-1}$

3. 最終的な答え

(1) 0 (ただし、$n \neq 0$)。$n=0$ のときは1。

(2) $2^{2n-1}$