第2項が3、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

第2項が3、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とします。

* 第2項が3であることから、

$ar = 3$ ...(1)

* 初項から第3項までの和が13であることから、

$a + ar + ar^2 = 13$ ...(2)

(1)より、$a = \frac{3}{r}$ が得られます。これを(2)に代入します。

$\frac{3}{r} + 3 + 3r = 13$

両辺に $r$ を掛けて整理します。

$3 + 3r + 3r^2 = 13r$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

よって、$r = \frac{1}{3}$ または $r = 3$ となります。

* $r = \frac{1}{3}$ のとき、(1)より、$a \cdot \frac{1}{3} = 3$ なので、$a = 9$

* $r = 3$ のとき、(1)より、$a \cdot 3 = 3$ なので、$a = 1$

3. 最終的な答え

初項と公比の組み合わせは、

(初項, 公比) = (9, 1/3), (1, 3)

です。