$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ と $g(x) = x^2 - 2x - 1$ が与えられています。 (1) $f(x)$ を $g(x)$ で割ったときの商と余りを求めます。 (2) $f(x)$ を $g(x)$ で割ったときの余りが $x+1$ であるとき、$b-2c$ の値を求めます。 (3) $g(x) = 0$ の異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とし、$f(\alpha) = f(\beta) = 6$ であるとき、$b-2c$ の値を求めます。 さらに、$b>0$ が $c>0$ であるための条件、$c>0$ が $a$ と $b$ が同符号であるための条件を、選択肢から選びます。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ と $g(x) = x^2 - 2x - 1$ が与えられています。

(1) $f(x)$ を $g(x)$ で割ったときの商と余りを求めます。

(2) $f(x)$ を $g(x)$ で割ったときの余りが $x+1$ であるとき、$b-2c$ の値を求めます。

(3) $g(x) = 0$ の異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とし、$f(\alpha) = f(\beta) = 6$ であるとき、$b-2c$ の値を求めます。

さらに、$b>0$ が $c>0$ であるための条件、$c>0$ が $a$ と $b$ が同符号であるための条件を、選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1) 実際に割り算を行います。

```

x + (a+2)

x^2-2x-1 | x^3 + ax^2 + bx + c

- (x^3 - 2x^2 - x)

----------------------

(a+2)x^2 + (b+1)x + c

- ((a+2)x^2 - 2(a+2)x - (a+2))

-----------------------------

(b+1+2a+4)x + c + a + 2

(2a+b+5)x + a+c+2

```

よって、商は $x+a+2$、余りは $(2a+b+5)x + a+c+2$ となります。

(2) 余りが $x+1$ であるとき、$2a+b+5 = 1$ かつ $a+c+2 = 1$ が成り立ちます。

$2a+b+5 = 1$ より、$b = -2a-4$

$a+c+2 = 1$ より、$c = -a-1$

よって、$b-2c = (-2a-4) - 2(-a-1) = -2a-4+2a+2 = -2$

(3) $g(x) = x^2 - 2x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ です。

$\alpha, \beta$ を $1 \pm \sqrt{2}$ とします。

$f(\alpha) = f(\beta) = 6$ であるとき、

$f(\alpha)-f(\beta)=0$ となります。

ここで、

$f(x)-6 = x^3 + ax^2 + bx + c -6$

$g(x)=x^2-2x-1$

$\alpha, \beta$ は $g(x)$ の解であるので、

$f(x)-6=(x^2-2x-1)(x+a+2) + (2a+b+5)x+a+c+2 - 6$

よって、

$f(\alpha)-6=(2a+b+5)\alpha + a+c-4=0$

$f(\beta)-6=(2a+b+5)\beta + a+c-4=0$

$(2a+b+5)(\alpha - \beta) = 0$

$\alpha \neq \beta$ なので、$2a+b+5=0$

$f(\alpha) = 6$ を代入して、$a+c-4 = 0$

$b = -2a-5$, $c = 4-a$

$b-2c = -2a-5 - 2(4-a) = -2a-5-8+2a = -13$

(i) $b>0$ は $c>0$ であるための条件

$b = -2a - 5 > 0$ より、$a < -5/2$

$c = 4-a > 0$ より、$a < 4$

$a < -5/2$ ならば、$a < 4$ なので、$b>0$ ならば $c>0$。$b>0$ は $c>0$ であるための十分条件です。

しかし、$c>0$ でも $b>0$ とは限りません。（例えば、$a=-1$ なら $c=3>0$ ですが、$b=-3<0$）

したがって、十分条件であるが必要条件ではありません。

(ii) $c>0$ は $a$ と $b$ が同符号であるための条件

$c = 4-a > 0$ より、$a < 4$

$b = -2a-5$

$a$ と $b$ が同符号ということは、$a(-2a-5)>0$。$a(2a+5)<0$。$-5/2 < a < 0$

$c>0$ であっても、$a$ と $b$ が同符号とは限りません。例えば、$a=-1$,$c=5>0$,$b=-3$ 同符号

$c>0$ 且つ aとb が同符号ならば必ず$c>0$なので、必要条件でも十分条件でもありません。

したがって、必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 5

エ: 2

オカ: -2

キクケ: -13

コ: 3

サ: 4