与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

数列の和を、等比数列の和、等差数列の和、定数の和に分解して計算します。

まず、$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1)$ を３つの和に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} 3^k + \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 1$

それぞれの和を計算します。

* $\sum_{k=1}^{n} 3^k$ は初項 3、公比 3 の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

* $\sum_{k=1}^{n} 2k$ は、

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

* $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1) = \frac{3(3^n - 1)}{2} + n(n+1) + n$

$= \frac{3 \cdot 3^n - 3}{2} + n^2 + n + n$

$= \frac{3^{n+1} - 3}{2} + n^2 + 2n$

$= \frac{3^{n+1} - 3 + 2n^2 + 4n}{2}$

$= \frac{3^{n+1} + 2n^2 + 4n - 3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} + 2n^2 + 4n - 3}{2}$