与えられた数式や条件に基づいて、空欄を埋める問題です。具体的には、 (1) $A = x^2 - x + 1$, $B = 2x^2 + x - 1$のとき、$A - 3B - [2A + B - 3(A + B)]$を計算し、$x$について降べきの順に整理する。 (2) 式 $(x^2 - 3xy + 2y^2)(x^2 - 5xy - y^2)$を展開して、$x$について降べきの順に整理する。 (3) $\sqrt{180} \div \sqrt{12} - \sqrt{12} \times \sqrt{45}$を計算する。 (4) $(2 - \sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5})$を計算する。 (5) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$と$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$を簡単にする。また、$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$ を簡単にする。 (6) $\sqrt{18}$の小数部分を$b$とするとき、$b$と$\frac{1}{b}$を求める。

1. 問題の内容

与えられた数式や条件に基づいて、空欄を埋める問題です。具体的には、

(1) $A = x^2 - x + 1$, $B = 2x^2 + x - 1$のとき、$A - 3B - [2A + B - 3(A + B)]$を計算し、$x$について降べきの順に整理する。

(2) 式 $(x^2 - 3xy + 2y^2)(x^2 - 5xy - y^2)$を展開して、$x$について降べきの順に整理する。

(3) $\sqrt{180} \div \sqrt{12} - \sqrt{12} \times \sqrt{45}$を計算する。

(4) $(2 - \sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5})$を計算する。

(5) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$と$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$を簡単にする。また、$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$ を簡単にする。

(6) $\sqrt{18}$の小数部分を$b$とするとき、$b$と$\frac{1}{b}$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A - 3B - [2A + B - 3(A + B)]$を整理します。

$A - 3B - [2A + B - 3A - 3B] = A - 3B - [-A - 2B] = A - 3B + A + 2B = 2A - B$

次に、$A$と$B$の式を代入します。

$2A - B = 2(x^2 - x + 1) - (2x^2 + x - 1) = 2x^2 - 2x + 2 - 2x^2 - x + 1 = -3x + 3$

(2)

$(x^2 - 3xy + 2y^2)(x^2 - 5xy - y^2)$を展開します。$x$について降べきの順に整理します。

$x^4 - 5x^3y - x^2y^2 - 3x^3y + 15x^2y^2 + 3xy^3 + 2x^2y^2 - 10xy^3 - 2y^4 = x^4 - 8x^3y + 16x^2y^2 - 7xy^3 - 2y^4$

$x$についての多項式の次数は4です。

(3)

$\sqrt{180} \div \sqrt{12} - \sqrt{12} \times \sqrt{45} = \sqrt{\frac{180}{12}} - \sqrt{12 \times 45} = \sqrt{15} - \sqrt{540} = \sqrt{15} - \sqrt{36 \times 15} = \sqrt{15} - 6\sqrt{15} = -5\sqrt{15}$

(4)

$(2 - \sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5}) = 6 + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 10 = -4 + \sqrt{5}$

(5)

$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5 + 3 + 2\sqrt{5 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{9 + 2 - 2 \times 3 \sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2}$

$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$は簡単になりません。

(6)

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$

$b = 3\sqrt{2} - 4$

$\frac{1}{b} = \frac{1}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{3\sqrt{2} + 4}{(3\sqrt{2} - 4)(3\sqrt{2} + 4)} = \frac{3\sqrt{2} + 4}{18 - 16} = \frac{3\sqrt{2} + 4}{2}$

3. 最終的な答え

ア: $-3x + 3$

イ: $x^4 - 8x^3y + 16x^2y^2 - 7xy^3 - 2y^4$

ウ: 4

エ: $-5\sqrt{15}$

オ: $-4 + \sqrt{5}$

カ: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$

キ: $3 - \sqrt{2}$

ク: $\sqrt{4 + \sqrt{7}}$

ケ: $3\sqrt{2} - 4$

コ: $\frac{3\sqrt{2} + 4}{2}$