実数 $x, y$ について、$4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ について、$4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成します。まず、$x$ について整理します。

$4x^2 + (4 - 12y)x + 12y^2 - 18y + 7$

次に、$x$ について平方完成します。

$4[x^2 + (1 - 3y)x] + 12y^2 - 18y + 7$

$= 4[ (x + \frac{1 - 3y}{2})^2 - (\frac{1 - 3y}{2})^2 ] + 12y^2 - 18y + 7$

$= 4(x + \frac{1 - 3y}{2})^2 - 4(\frac{1 - 6y + 9y^2}{4}) + 12y^2 - 18y + 7$

$= 4(x + \frac{1 - 3y}{2})^2 - (1 - 6y + 9y^2) + 12y^2 - 18y + 7$

$= 4(x + \frac{1 - 3y}{2})^2 + 3y^2 - 12y + 6$

次に、$y$ について平方完成します。

$3(y^2 - 4y) + 6$

$= 3[(y - 2)^2 - 4] + 6$

$= 3(y - 2)^2 - 12 + 6$

$= 3(y - 2)^2 - 6$

したがって、与えられた式は次のように変形できます。

$4(x + \frac{1 - 3y}{2})^2 + 3(y - 2)^2 - 6$

最小値を与えるのは、

$x + \frac{1 - 3y}{2} = 0$ かつ $y - 2 = 0$ のときです。

$y = 2$ より、

$x + \frac{1 - 3(2)}{2} = 0$

$x + \frac{1 - 6}{2} = 0$

$x + \frac{-5}{2} = 0$

$x = \frac{5}{2}$

このとき、最小値は $-6$ です。

3. 最終的な答え

最小値: -6

$x = \frac{5}{2}$

$y = 2$