等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が3、第5項が24であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が3、第5項が24であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表される。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

問題文より、

$a_2 = a r^{2-1} = ar = 3$

$a_5 = a r^{5-1} = a r^4 = 24$

この二つの式から $a$ と $r$ を求める。

$ar^4 = (ar)r^3 = 24$

$ar = 3$　より、

$3 r^3 = 24$

$r^3 = 8$

$r = 2$

公比 $r$ は実数なので、$r=2$ のみが解である。

$ar = 3$ に $r = 2$ を代入すると

$a(2) = 3$

$a = \frac{3}{2}$

したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = a r^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-2}$