与えられた行列式の値を求める問題です。行列式は以下で与えられます。 $ \begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} $
2025/5/31
1. 問題の内容
与えられた行列式の値を求める問題です。行列式は以下で与えられます。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
2. 解き方の手順
行列式の性質を利用して計算を簡略化します。
行列式は各列を足し合わせたり、引いたりしても値が変わりません。
まず、第1列から第2列を引きます。次に、第2列から第3列を引きます。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
(a+x)-(a+y) & (a+y)-(a+z) & a+z \\
(b+x)-(b+y) & (b+y)-(b+z) & b+z \\
(c+x)-(c+y) & (c+y)-(c+z) & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x-y & y-z & a+z \\
x-y & y-z & b+z \\
x-y & y-z & c+z
\end{vmatrix}
次に、この行列式を線形性を使って分解します。
\begin{vmatrix}
x-y & y-z & a \\
x-y & y-z & b \\
x-y & y-z & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x-y & y-z & z \\
x-y & y-z & z \\
x-y & y-z & z
\end{vmatrix}
第2項の行列式は、第3列の要素が全て等しいので、展開すると0になります。
\begin{vmatrix}
x-y & y-z & z \\
x-y & y-z & z \\
x-y & y-z & z
\end{vmatrix} = 0
また、第1項の行列式において、第1列と第2列を取り出すと、
(x-y) (y-z)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & a \\
1 & 1 & b \\
1 & 1 & c
\end{vmatrix}
となります。
第1列と第2列が同じなので、行列式は0になります。
\begin{vmatrix}
1 & 1 & a \\
1 & 1 & b \\
1 & 1 & c
\end{vmatrix} = 0
したがって、元の行列式は0になります。
別の方法として、行列式を分解することもできます。
\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x & x & x \\
y & y & y \\
z & z & z
\end{vmatrix}
= 0
+
\begin{vmatrix}
a & y & z \\
b & y & z \\
c & y & z
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x & a & a \\
y & b & b \\
z & c & c
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & a & z \\
b & b & z \\
c & c & z
\end{vmatrix}
などのような分解ができますが、列が等しい行列式は 0 になることを利用します。
元の行列式を展開すると、いくつかの行列式の和になりますが、どの行列式も少なくとも2つの列が等しくなるため、結局は0になります。
3. 最終的な答え
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