## (1) 問題の内容

## (1) 問題の内容

等式 $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ を数学的帰納法で証明します。

## (1) 解き方の手順

### (i) $n=1$ のとき

左辺は $1^3 = 1$。

右辺は $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$。

よって、$n=1$ のとき、等式は成り立ちます。

### (ii) $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定する

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$ が成り立つと仮定します。

### (iii) $n=k+1$ のとき

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$ (帰納法の仮定より)

$= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}$

$= \frac{(k+1)^2[k^2 + 4(k+1)]}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$= \frac{[(k+1)(k+2)]^2}{4}$

これは、$n = k+1$ のときの右辺 $\frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$ と一致します。

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成り立ちます。

(i)(ii)(iii)より、すべての自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ は成り立ちます。

## (1) 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ が成り立つ。

## (2) 問題の内容

等式 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$ を数学的帰納法で証明します。

## (2) 解き方の手順

### (i) $n=1$ のとき

左辺は $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$。

右辺は $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$。

よって、$n=1$ のとき、等式は成り立ちます。

### (ii) $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定する

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$ が成り立つと仮定します。

### (iii) $n=k+1$ のとき

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ (帰納法の仮定より)

$= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}$

$= \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)}$

$= \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}$

$= \frac{k+1}{k+2}$

これは、$n=k+1$ のときの右辺 $\frac{k+1}{(k+1)+1}$ と一致します。

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成り立ちます。

(i)(ii)(iii)より、すべての自然数 $n$ に対して、等式 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$ は成り立ちます。

## (2) 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$ が成り立つ。