与えられた2次式 $x^2 + 6x + 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + 6x + 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次式 $x^2 + 6x + 3 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いて解を求めます。解の公式は以下の通りです。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1$, $b=6$, $c=3$ です。これらを解の公式に代入すると、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = -3 \pm \sqrt{6}$

したがって、2次式の解は $x = -3 + \sqrt{6}$ と $x = -3 - \sqrt{6}$ です。

2次式 $x^2 + 6x + 3$ は、$a(x - x_1)(x - x_2)$ のように因数分解できます。ここで、$x_1$ と $x_2$ は2次式の解です。この問題では、$a = 1$, $x_1 = -3 + \sqrt{6}$, $x_2 = -3 - \sqrt{6}$ なので、

$x^2 + 6x + 3 = (x - (-3 + \sqrt{6}))(x - (-3 - \sqrt{6}))$

$x^2 + 6x + 3 = (x + 3 - \sqrt{6})(x + 3 + \sqrt{6})$

3. 最終的な答え

$(x + 3 - \sqrt{6})(x + 3 + \sqrt{6})$