$x \le 0$ を満たすすべての $x$ について、不等式 $x^2 - (a+1)x + a - 2 > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \le 0$ を満たすすべての $x$ について、不等式 $x^2 - (a+1)x + a - 2 > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を $f(x) = x^2 - (a+1)x + a - 2$ とおきます。

$f(x) > 0$ が $x \le 0$ を満たすすべての $x$ について成り立つ条件を考えます。

$f(x)$ は下に凸な放物線なので、判別式 $D$ を計算し、軸の位置を調べることによって条件を絞り込むことができます。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (a+1)^2 - 4(a-2) = a^2 + 2a + 1 - 4a + 8 = a^2 - 2a + 9 = (a-1)^2 + 8 > 0$

判別式が常に正なので、$f(x) = 0$ は常に異なる二つの実数解を持つことがわかります。

次に、$f(x)$ の軸の位置を求めます。軸は $x = \frac{a+1}{2}$ です。

場合分けをします。

(1) 軸が $x \le 0$ の範囲にある場合、つまり $\frac{a+1}{2} \le 0$ のとき、つまり $a \le -1$ のとき

$f(0) > 0$ であれば、$x \le 0$ の範囲で $f(x) > 0$ が成り立ちます。

$f(0) = a - 2 > 0$ より $a > 2$

しかし、$a \le -1$ と $a > 2$ を同時に満たす $a$ は存在しないので、この場合は条件を満たす $a$ はありません。

(2) 軸が $x > 0$ の範囲にある場合、つまり $\frac{a+1}{2} > 0$ のとき、つまり $a > -1$ のとき

$x \le 0$ で常に $f(x) > 0$ が成り立つためには、$f(0) > 0$ である必要があります。

$f(0) = a - 2 > 0$ より $a > 2$

このとき、$a > -1$ も満たしています。

したがって、$a > 2$ が求める条件となります。

3. 最終的な答え

$a > 2$