不等式 $x^2 + 10y^2 \ge 6xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。Aさんの証明には誤りが含まれているため、その箇所を特定し、正しい証明を記述する必要があります。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + 10y^2 \ge 6xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。Aさんの証明には誤りが含まれているため、その箇所を特定し、正しい証明を記述する必要があります。

2. 解き方の手順

Aさんの証明の各ステップを確認し、誤りを見つけます。

* 左辺-右辺 = $x^2 + 10y^2 - 6xy$

* ① $x^2 + 10y^2 - 6xy = x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2$

* ② $x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2 = (x - 3y)^2 + y^2$

* ③ $(x-3y)^2 \ge 0$, $y^2 \ge 0$ であるから $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$

* ④ したがって $x^2 + 10y^2 \ge 6xy$。等号が成り立つのは $x - 3y = 0$ すなわち $x = 3y$ のときである。

①の式変形は正しいです。$10y^2$ を $9y^2 + y^2$ に分解しています。

②の式変形も正しいです。$x^2 - 6xy + 9y^2$ を $(x - 3y)^2$ に因数分解しています。

③も正しいです。実数の2乗は0以上なので、$(x-3y)^2 \ge 0$ かつ $y^2 \ge 0$ です。

④について、等号が成り立つ条件は $(x - 3y)^2 + y^2 = 0$ です。$(x - 3y)^2 \ge 0$ かつ $y^2 \ge 0$ であることから、$(x - 3y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ でなければなりません。よって、$x - 3y = 0$ かつ $y = 0$ が必要です。したがって、$x = 3y$ かつ $y=0$ となり、$x=0$ かつ $y=0$ が等号が成り立つ条件です。よって④が誤りです。

3. 最終的な答え

誤っている箇所：④

正しい証明：

左辺-右辺 = $x^2 + 10y^2 - 6xy$

= $(x^2 - 6xy + 9y^2) + y^2$

= $(x - 3y)^2 + y^2$

$(x - 3y)^2 \ge 0$, $y^2 \ge 0$ であるから、

$(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$

したがって $x^2 + 10y^2 \ge 6xy$。

等号が成り立つのは $(x - 3y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ すなわち $x = 0$ かつ $y = 0$ のときである。