$x$ の二次方程式 $x^2 + 2kx + 3k + 4 = 0$ が与えられています。 (1) この方程式が2つの異なる正の解を持つような $k$ の範囲を求める。 (2) この方程式が正の解と負の解を一つずつ持つような $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ の二次方程式 $x^2 + 2kx + 3k + 4 = 0$ が与えられています。

(1) この方程式が2つの異なる正の解を持つような $k$ の範囲を求める。

(2) この方程式が正の解と負の解を一つずつ持つような $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの異なる正の解を持つ条件

判別式 $D > 0$, 軸 $> 0$, $f(0) > 0$

$D/4 = k^2 - (3k + 4) = k^2 - 3k - 4 = (k-4)(k+1) > 0$

よって $k < -1$ または $k > 4$

軸は $x = -k$ なので $-k > 0$ より $k < 0$

$f(0) = 3k + 4 > 0$ より $k > -\frac{4}{3}$

以上より、

$k < -1$ または $k > 4$

$k < 0$

$k > -\frac{4}{3}$

これらをすべて満たす $k$ の範囲は $-\frac{4}{3} < k < -1$

(2) 正の解と負の解を一つずつ持つ条件

$f(0) < 0$

$3k + 4 < 0$

$k < -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{4}{3} < k < -1$

(2) $k < -\frac{4}{3}$