与えられた命題について、必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれに該当するかを答える問題です。 (1) $x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件 (2) 自然数 $n$ が3の倍数であることは、自然数 $n$ が6の倍数であるための条件 (3) $xy + 1 = x + y$ は、$x = 1$ または $y = 1$ であるための条件

1. 問題の内容

与えられた命題について、必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれに該当するかを答える問題です。

(1) $x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件

(2) 自然数 $n$ が3の倍数であることは、自然数 $n$ が6の倍数であるための条件

(3) $xy + 1 = x + y$ は、$x = 1$ または $y = 1$ であるための条件

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ ならば $x^2 - x - 2 = 0$ が成り立つかどうかを調べます。

$x=2$ を $x^2 - x - 2 = 0$ に代入すると、$2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$ となり、成り立ちます。

したがって、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための十分条件です。

次に、$x^2 - x - 2 = 0$ ならば $x=2$ が成り立つかどうかを調べます。

$x^2 - x - 2 = 0$ を因数分解すると、$(x-2)(x+1) = 0$ となるので、$x=2$ または $x=-1$ となります。

したがって、$x^2 - x - 2 = 0$ は $x=2$ であるための必要条件ではありません（$x=-1$ でも成り立つため）。

よって、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(2) 自然数 $n$ が3の倍数であることは、自然数 $n$ が6の倍数であるための条件を調べます。

$n$ が6の倍数ならば、$n$ は3の倍数です。よって、$n$ が3の倍数であるための必要条件です。

$n$ が3の倍数でも、$n$ が6の倍数とは限りません（例えば $n=3$ ）。したがって、$n$ が3の倍数であるための十分条件ではありません。

よって、自然数 $n$ が3の倍数であることは、自然数 $n$ が6の倍数であるための必要条件であるが十分条件ではありません。

(3) $xy + 1 = x + y$ は、$x = 1$ または $y = 1$ であるための条件を調べます。

$x = 1$ または $y = 1$ ならば、$xy + 1 = x + y$ が成り立つかどうかを調べます。

$x = 1$ のとき、$y + 1 = 1 + y$ となり、成り立ちます。

$y = 1$ のとき、$x + 1 = x + 1$ となり、成り立ちます。

したがって、$x=1$ または $y=1$ は $xy + 1 = x + y$ の十分条件です。

次に、$xy + 1 = x + y$ ならば、$x = 1$ または $y = 1$ が成り立つかどうかを調べます。

$xy + 1 = x + y$ を変形すると、$xy - x - y + 1 = 0$

$x(y - 1) - (y - 1) = 0$

$(x - 1)(y - 1) = 0$

したがって、$x = 1$ または $y = 1$ が成り立ちます。

つまり、$xy + 1 = x + y$ は、$x = 1$ または $y = 1$ であるための必要条件です。

よって、$xy + 1 = x + y$ は、$x = 1$ または $y = 1$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) ② 十分条件であるが必要条件でない

(2) ① 必要条件であるが十分条件ではない

(3) ③ 必要十分条件である