$n$次正方行列$A$に対して、$A$が正則行列である必要十分条件は、$A$が$0$を固有値としてもたないことである。

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A$に対して、$A$が正則行列である必要十分条件は、$A$が$0$を固有値としてもたないことである。

2. 解き方の手順

* **正則行列であることの定義:**

$n$次正方行列$A$が正則であるとは、逆行列$A^{-1}$が存在することである。

* **固有値の定義:**

$A$を$n$次正方行列とする。スカラー$\lambda$が$A$の固有値であるとは、零ベクトルでないベクトル$\mathbf{v}$が存在して、

$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

が成り立つことである。この$\mathbf{v}$を固有値$\lambda$に対応する固有ベクトルという。

* **固有値が0であること:**

もし0が$A$の固有値ならば、ある零ベクトルでないベクトル$\mathbf{v}$が存在して、$A\mathbf{v} = 0\mathbf{v} = \mathbf{0}$が成り立つ。

これは、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$が自明でない解を持つことを意味する。したがって、$A$の行列式は0になる。

$\det(A) = 0$

* **正則行列であることと行列式:**

行列$A$が正則であるための必要十分条件は、その行列式が0でないことである。

$\det(A) \neq 0$

* **必要十分条件の証明:**

* ($A$が正則 $\implies$ 0は$A$の固有値ではない)

$A$が正則であるとき、$\det(A) \neq 0$である。もし0が$A$の固有値ならば、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$を満たす零ベクトルでないベクトル$\mathbf{v}$が存在する。しかし、$A$が正則なので、$A^{-1}$が存在し、$A^{-1}A\mathbf{v} = A^{-1}\mathbf{0}$より、$\mathbf{v} = \mathbf{0}$となる。これは$\mathbf{v}$が零ベクトルでないことに矛盾する。したがって、0は$A$の固有値ではない。

* (0は$A$の固有値ではない $\implies$ $A$が正則)

0が$A$の固有値でないと仮定する。つまり、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$となる零ベクトルでないベクトル$\mathbf{v}$は存在しない。これは、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$の解が$\mathbf{v} = \mathbf{0}$のみであることを意味する。したがって、$\det(A) \neq 0$であり、$A$は正則である。

3. 最終的な答え

$n$次正方行列$A$について、$A$が正則行列である必要十分条件は、$A$が$0$を固有値としてもたないことである。