$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $ab + b^2$

1. 問題の内容

$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $ab + b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{3}{\sqrt{7}-2}$ を有理化する。

分子と分母に $\sqrt{7}+2$ をかけると、

$\frac{3}{\sqrt{7}-2} = \frac{3(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{3(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{3(\sqrt{7}+2)}{3} = \sqrt{7}+2$

(1)

$\sqrt{7}$ の値について考える。$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ であるから、$2 < \sqrt{7} < 3$ である。

より詳しく考えると、$2.6^2 = 6.76$、$2.7^2 = 7.29$ であるから、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$ である。

したがって、$\sqrt{7}+2$ は、$2.6+2 < \sqrt{7}+2 < 2.7+2$ となり、$4.6 < \sqrt{7}+2 < 4.7$ である。

よって、$\sqrt{7}+2$ の整数部分は $a = 4$ となる。

(2)

小数部分 $b$ は、$\sqrt{7}+2$ から整数部分 $a=4$ を引いたものである。

したがって、$b = (\sqrt{7}+2) - 4 = \sqrt{7} - 2$ となる。

(3)

$ab+b^2$ を計算する。

$ab+b^2 = b(a+b)$ であるから、

$b(a+b) = (\sqrt{7}-2)(4 + \sqrt{7}-2) = (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7-4 = 3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $b = \sqrt{7} - 2$

(3) $ab+b^2 = 3$