関数 $y = 3x^2 - 6x + 2$ の $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 6x + 2$ の $-1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6x + 2 = 3(x^2 - 2x) + 2$

$y = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = 3((x-1)^2 - 1) + 2$

$y = 3(x-1)^2 - 3 + 2 = 3(x-1)^2 - 1$

したがって、$y = 3(x-1)^2 - 1$ となります。

この関数は、頂点が $(1, -1)$ の下に凸な放物線です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 4$ における $x$ の値に対する $y$ の値を調べます。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、これは定義域に含まれています。したがって、$x = 1$ のとき、最小値 $y = -1$ をとります。

次に、定義域の端点における $y$ の値を調べます。

$x = -1$ のとき、 $y = 3(-1 - 1)^2 - 1 = 3(-2)^2 - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$

$x = 4$ のとき、 $y = 3(4 - 1)^2 - 1 = 3(3)^2 - 1 = 3(9) - 1 = 27 - 1 = 26$

$x=-1$のとき $y=11$, $x=4$のとき $y=26$となります。

したがって、最大値は $x = 4$ のときの $y = 26$ です。

3. 最終的な答え

最大値：26

最小値：-1