行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ および $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられています。 行列 $A$ について、$ \tilde{A} = (A\ E_2)$ を簡約化して $A'$ を求め、$A^{-1}$ を求めます。 行列 $B$ について、$ \tilde{B} = (B\ E_2)$ を簡約化して $B'$ を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ および $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられています。

行列 $A$ について、$\tilde{A} = (A\ E_2)$ を簡約化して $A'$ を求め、$A^{-1}$ を求めます。

行列 $B$ について、$\tilde{B} = (B\ E_2)$ を簡約化して $B'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\tilde{A} = (A\ E_2) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ を簡約化します。

1行目に1行目を加えると、

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

2行目に1行目を加えると、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

したがって、$A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ であり、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ です。

次に、$\tilde{B} = (B\ E_2) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 \\ -6 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ を簡約化します。

1行目を2で割ると、

$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -6 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

2行目に1行目の6倍を加えると、

$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

したがって、$B' = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ です。

(1) = 1

(2) = 0

(3) = 2

(4) = 1

(5) = 0

(6) = 1

(7) = 1

(8) = 1

(9) = 1

(10) = -1/2

(11) = 0

(12) = 1/2

(13) = 0

(14) = 3

(15) = 0

(16) = 0

(17) = 3

(18) = 1

(19) = 1

3. 最終的な答え

(1) = 1

(2) = 0

(3) = 2

(4) = 1

(5) = 0

(6) = 1

(7) = 1

(8) = 1

(9) = 1

(10) = -1/2

(11) = 0

(12) = 1/2

(13) = 0

(14) = 3

(15) = 0

(16) = 0

(17) = 3

(18) = 1

(19) = 1