与えられた連立一次方程式が解を持つような、$a, b$ の条件を求めます。連立一次方程式は以下の通りです。 $2x + y + 3z = 1$ $-y + z = a$ $x + y + z = b$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つような、$a, b$ の条件を求めます。連立一次方程式は以下の通りです。

$2x + y + 3z = 1$

$-y + z = a$

$x + y + z = b$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix}

2 & 1 & 3 & | & 1 \\

0 & -1 & 1 & | & a \\

1 & 1 & 1 & | & b

\end{pmatrix}$

次に、この拡大係数行列を簡約化します。

まず、3行目と1行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 1 & | & b \\

0 & -1 & 1 & | & a \\

2 & 1 & 3 & | & 1

\end{pmatrix}$

次に、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 1 & | & b \\

0 & -1 & 1 & | & a \\

0 & -1 & 1 & | & 1-2b

\end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 1 & | & b \\

0 & -1 & 1 & | & a \\

0 & 0 & 0 & | & 1-2b-a

\end{pmatrix}$

連立一次方程式が解を持つためには、最後の行が $0 = 0$ になる必要があります。つまり、$1-2b-a = 0$ である必要があります。

3. 最終的な答え

連立一次方程式が解を持つための条件は、$a + 2b = 1$ です。