与えられた分数式を「整式＋真分数式」の形に変形する問題です。具体的には、 (1) $\frac{x-5}{x+3}$ (2) $\frac{x^2+x+1}{x+2}$ の2つの式について、それぞれ整式と真分数式の和の形に書き換えます。

1. 問題の内容

与えられた分数式を「整式＋真分数式」の形に変形する問題です。具体的には、

(1) $\frac{x-5}{x+3}$

(2) $\frac{x^2+x+1}{x+2}$

の2つの式について、それぞれ整式と真分数式の和の形に書き換えます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x-5}{x+3}$ の場合：

分子を分母の形に近づけるために、$x-5$ を $x+3$ を含むように変形します。

$x-5 = (x+3) - 8$ と変形できます。

よって、

$\frac{x-5}{x+3} = \frac{(x+3)-8}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} - \frac{8}{x+3} = 1 - \frac{8}{x+3}$

(2) $\frac{x^2+x+1}{x+2}$ の場合：

分子を分母で割る筆算を行います。

$x^2 + x + 1$ を $x+2$ で割ると、商は $x-1$、余りは $3$ となります。

したがって、

$x^2 + x + 1 = (x+2)(x-1) + 3$

よって、

$\frac{x^2+x+1}{x+2} = \frac{(x+2)(x-1)+3}{x+2} = \frac{(x+2)(x-1)}{x+2} + \frac{3}{x+2} = x-1 + \frac{3}{x+2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-5}{x+3} = 1 - \frac{8}{x+3}$

(2) $\frac{x^2+x+1}{x+2} = x-1 + \frac{3}{x+2}$