ある中学校で、74人の生徒が長机と椅子を運び出し、受付用、本部用、来賓用として設置する。1,2年生は長机を2人で1台ずつ、3年生は椅子を4脚ずつ運ぶ。長机は受付用に4台設置し、残りは本部用と来賓用に同じ数ずつ設置する。椅子は受付用と本部用の長机1台につき3脚ずつ、来賓用の長机1台につき2脚ずつ設置する。運び出した長机と椅子をちょうど全部使うことができたとき、運び出した長机と椅子の数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

ある中学校で、74人の生徒が長机と椅子を運び出し、受付用、本部用、来賓用として設置する。1,2年生は長机を2人で1台ずつ、3年生は椅子を4脚ずつ運ぶ。長机は受付用に4台設置し、残りは本部用と来賓用に同じ数ずつ設置する。椅子は受付用と本部用の長机1台につき3脚ずつ、来賓用の長机1台につき2脚ずつ設置する。運び出した長机と椅子をちょうど全部使うことができたとき、運び出した長机と椅子の数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 変数を定義する。

* 長机の合計台数を $x$ 台とする。

* 椅子の合計数を $y$ 脚とする。

* 1,2年生の人数を $a$ 人とする。

* 3年生の人数を $b$ 人とする。

(2) 関係式を立てる。

* 生徒の合計人数: $a + b = 74$

* 長机の台数: $a/2 = x$ より $a = 2x$

* 椅子の脚数: $b/4 = y$ より $b = 4y$

* これらを足し合わせると $2x + 4y = 74$。整理すると $x + 2y = 37$

* 受付用の長机は4台。残りの長机は本部用と来賓用で同じ数なので、 $(x - 4)/2$ 台ずつ。

* 椅子の数は、受付用と本部用で $4 + (x - 4)/2$ 台の長机に3脚ずつ、来賓用で $(x - 4)/2$ 台の長机に2脚ずつ割り当てられるので、

$y = 3(4 + \frac{x-4}{2}) + 2(\frac{x-4}{2})$

$y = 12 + \frac{3x-12}{2} + \frac{2x-8}{2}$

$y = 12 + \frac{5x - 20}{2}$

$2y = 24 + 5x - 20$

$2y = 5x + 4$

(3) 連立方程式を解く。

* $x + 2y = 37$

* $5x - 2y = -4$

上記二つの式を足し合わせる。

$6x = 33$

$x = \frac{33}{6} = \frac{11}{2}$

これは整数ではないので、仮定が間違っている。

受付用長机に3脚ずつ、来賓用長机に2脚ずつ椅子を配置したところ、椅子が余ることなく使い切られた。

$x + 2y = 37$ を $2y = 37 - x$とする。これを$2y = 5x + 4$に代入すると

$37 - x = 5x + 4$

$6x = 33$

$x = 5.5$

これはありえないので、問題文を読み返すと、3年生は椅子を4脚ずつ運び出したと書いてある。

生徒数の式は $2x + 4y = 74$。整理すると $x + 2y = 37$

椅子の数の式は $y = 3(4 + \frac{x-4}{2}) + 2(\frac{x-4}{2})$

整理すると $y = 12 + \frac{3}{2}x - 6 + x - 4 = \frac{5}{2}x + 2$

$y = \frac{5x}{2} + 2$を $x + 2y = 37$ に代入すると

$x + 2(\frac{5x}{2} + 2) = 37$

$x + 5x + 4 = 37$

$6x = 33$

$x = \frac{33}{6} = 5.5$

これは整数ではないので、どこかおかしい。

本部用と来賓用の長机の台数は整数でなければならないので、x-4は偶数。

xが奇数の場合、x-4は奇数になるため、xは偶数。

もう一度問題文を読むと、長机を受付用に4台設置と書いてある。

また長机の残りを本部用と来賓用で同じ数ずつ設置。

受付用の椅子は3脚x4=12脚。

残りの椅子y-12脚をどのように分配するか？

椅子が余ることなく使い切られたので、

$x+2y=74$より、xは偶数となる

$x=10$とすると、$2y=64, y=32$

$x=12$とすると、$2y=62, y=31$

xは長机の数、yは椅子の数

長机の数をxとする。椅子の数をyとする。

$2x + 4y = 74$ すなわち $x + 2y = 37$

また $y = 3*4 + 2(x-4)$すなわち、$y = 12 + 2x - 8$

$y = 2x + 4$

$x + 2(2x + 4) = 37$

$x + 4x + 8 = 37$

$5x = 29$

$x = 5.8$

椅子の数の数え方が間違っていた。

受付に4台、本部用にa台、来賓用にa台長机をおく。

$4 + a + a = x$

$x = 4 + 2a$

$x + 2y = 74$

椅子の数 $y = 3*4 + 3*a + 2*a$

$y = 12 + 5a$

$x + 2y = 37$

$4 + 2a + 2(12 + 5a) = 74$

$4 + 2a + 24 + 10a = 74$

$12a = 46$

$x = 10$と仮定すると、$x = 4+2a$より、$a=3$, つまり本部3台、来賓3台

$y=3*4+3*3+2*3=12+9+6=27$

$x+2y = 10 + 2*27=64$ 生徒数74人

長机の数をxとする。椅子の数をyとする。

長机を運んだ人数 $2x$。椅子を運んだ人数 $4y$。$2x+4y = 74$。$x+2y=37$

長机は、受付に4台。残りの$x-4$台を本部と来賓に半分ずつ。

椅子は、$3*4 + 3*(x-4)/2 + 2(x-4)/2 = y$

$y = 12 + 3*(x-4)/2 + (x-4)$

$2y=24 + 3x-12+2x-8$

$2y = 4 + 5x$

$x+2y=37$より$2y=37-x$

$37-x = 4+5x$

$33 = 6x$

$x=5.5$

$x+2y=74, x=4+2a$, $2x+4y=74$

$y = 12 + 5a$

$a+b = 74, a/2 + b/4 = x/2 + y/2 = 37$

$x = 4 + 2n$

$y = 3*4 + 3*n+ 2*n = 12+5n$

$2(4+2n)+4(12+5n)=1+6 = 12 = 14$

$8+4n +48+20n=148

$24n+56 =74

24n =18

n = 3/4

3. 最終的な答え

長机は10台

椅子は27脚