$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 + y^3$ (3) $x^5 y^2 + x^2 y^5$

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3 + y^3$

(3) $x^5 y^2 + x^2 y^5$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の和と積を計算します。

$x+y = \frac{3+\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$xy = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{4} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(1) $x^2 + y^2$ の計算

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

(2) $x^3 + y^3$ の計算

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x^2 + y^2) - xy) = 3(7 - 1) = 3(6) = 18$

(3) $x^5 y^2 + x^2 y^5$ の計算

$x^5 y^2 + x^2 y^5 = x^2 y^2 (x^3 + y^3) = (xy)^2 (x^3 + y^3) = (1)^2 (18) = 18$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 7$

(2) $x^3 + y^3 = 18$

(3) $x^5 y^2 + x^2 y^5 = 18$