2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられ、$y = f(x)$ のグラフをx軸方向に $a-2$、y軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とします。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a = 3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられ、$y = f(x)$ のグラフをx軸方向に $a-2$、y軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とします。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a = 3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

したがって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(2, 3)$ です。

(2) $g(x)$ は $f(x)$ をx軸方向に $a-2$、y軸方向に $-5$ だけ平行移動したものであるから、

$g(x) = f(x - (a - 2)) - 5 = f(x - a + 2) - 5$

$g(x) = (x - a + 2)^2 - 4(x - a + 2) + 7 - 5 = (x - a + 2)^2 - 4x + 4a - 8 + 2 = (x - a + 2)^2 - 4x + 4a - 6$

$g(x) = (x - (a - 2))^2 + 3 - 5 = (x - (a - 2))^2 - 2$

したがって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a - 2, -2)$ です。

$a = 3$ のとき、$g(x) = (x - 1)^2 - 2$ です。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。

$g(x)$ は下に凸な放物線であり、頂点のx座標は $x = 1$ です。

$g(0) = (0 - 1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$g(1) = (1 - 1)^2 - 2 = -2$

$g(4) = (4 - 1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

したがって、最大値は $7$、最小値は $-2$ です。

(3) $g(x) = (x - a + 2)^2 - 2$ であるから、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a - 2, -2)$ です。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を考えます。

頂点のx座標 $a - 2$ が $0 \le a - 2 \le 4$、すなわち $2 \le a \le 6$ のとき、

$m = -2$ であり、$M = g(0)$ または $g(4)$ の大きい方です。

$g(0) = (0 - a + 2)^2 - 2 = (a - 2)^2 - 2$

$g(4) = (4 - a + 2)^2 - 2 = (6 - a)^2 - 2$

$(a - 2)^2 = (6 - a)^2$ となるのは $a - 2 = 6 - a$ より $2a = 8$ つまり $a = 4$ のときです。

$2 \le a < 4$ のとき、$M = g(4) = (6 - a)^2 - 2$

$4 < a \le 6$ のとき、$M = g(0) = (a - 2)^2 - 2$

$M - 2m = 9$ より $M - 2(-2) = 9$ なので $M + 4 = 9$ すなわち $M = 5$ となります。

$2 \le a < 4$ のとき、$(6 - a)^2 - 2 = 5$ なので $(6 - a)^2 = 7$

$6 - a = \pm \sqrt{7}$ より $a = 6 \pm \sqrt{7}$

$2 \le a < 4$ であるから $a = 6 - \sqrt{7}$

$4 < a \le 6$ のとき、$(a - 2)^2 - 2 = 5$ なので $(a - 2)^2 = 7$

$a - 2 = \pm \sqrt{7}$ より $a = 2 \pm \sqrt{7}$

$4 < a \le 6$ であるから $a = 2 + \sqrt{7}$

頂点のx座標が $a-2 < 0$、すなわち $a < 2$ のとき、最小値は $g(0)$。

頂点のx座標が $a-2 > 4$、すなわち $a > 6$ のとき、最小値は $g(4)$。

$a < 2$ のとき、最小値 $m = g(0) = (a-2)^2 - 2$. 最大値 $M = g(4) = (6-a)^2 - 2$.

$a > 6$ のとき、最小値 $m = g(4) = (6-a)^2 - 2$. 最大値 $M = g(0) = (a-2)^2 - 2$.

$a < 2$ の場合も $a > 6$ の場合も $M - 2m = 9$ より $(a-2)^2 - 2 - 2((6-a)^2 - 2) = 9$.

$(a-2)^2 - 2(6-a)^2 + 2 = 9$

$(a-2)^2 - 2(a-6)^2 = 7$.

$a^2 - 4a + 4 - 2(a^2 - 12a + 36) = 7$

$a^2 - 4a + 4 - 2a^2 + 24a - 72 = 7$

$-a^2 + 20a - 68 = 7$

$-a^2 + 20a - 75 = 0$

$a^2 - 20a + 75 = 0$

$(a-5)(a-15) = 0$

$a = 5$ または $a = 15$.

$a < 2$ と $a > 6$ に当てはまらないので不適。

したがって、$a = 6 - \sqrt{7}$ または $a = 2 + \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $(2, 3)$

(2) $(a - 2, -2)$。$a = 3$ のとき、最大値は $7$、最小値は $-2$。

(3) $a = 6 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}$