次の2つの2次不等式が、すべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の取りうる値の範囲を求めます。 (1) $(2k+3)x^2 + 2kx + k > 0$ (2) $(2k+3)x^2 + 2kx + k < 0$

1. 問題の内容

次の2つの2次不等式が、すべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の取りうる値の範囲を求めます。

(1) $(2k+3)x^2 + 2kx + k > 0$

(2) $(2k+3)x^2 + 2kx + k < 0$

2. 解き方の手順

(1) $(2k+3)x^2 + 2kx + k > 0$

まず、$2k+3 = 0$ つまり $k = -\frac{3}{2}$ のとき、不等式は $-3x - \frac{3}{2} > 0$ となり、これはすべての実数 $x$ に対して成り立つわけではないので、$k = -\frac{3}{2}$ は解ではありません。

次に、$2k+3 \neq 0$ の場合を考えます。

不等式がすべての実数 $x$ について成り立つためには、次の2つの条件が必要です。

(i) $2k+3 > 0$ (下に凸)

(ii) 判別式 $D = (2k)^2 - 4(2k+3)k < 0$

(i) より、

$2k+3 > 0$

$2k > -3$

$k > -\frac{3}{2}$

(ii) より、

$D = 4k^2 - 4(2k^2 + 3k) < 0$

$4k^2 - 8k^2 - 12k < 0$

$-4k^2 - 12k < 0$

$4k^2 + 12k > 0$

$4k(k+3) > 0$

$k(k+3) > 0$

$k < -3$ または $k > 0$

(i) と (ii) の両方を満たす $k$ の範囲は、

$k > -\frac{3}{2}$ かつ ($k < -3$ または $k > 0$) なので、

$k > 0$

(2) $(2k+3)x^2 + 2kx + k < 0$

まず、$2k+3 = 0$ つまり $k = -\frac{3}{2}$ のとき、不等式は $-3x - \frac{3}{2} < 0$ となり、$x$ の値によっては成り立たないため、$k = -\frac{3}{2}$ は解ではありません。

次に、$2k+3 \neq 0$ の場合を考えます。

不等式がすべての実数 $x$ について成り立つためには、次の2つの条件が必要です。

(i) $2k+3 < 0$ (上に凸)

(ii) 判別式 $D = (2k)^2 - 4(2k+3)k < 0$

(i) より、

$2k+3 < 0$

$2k < -3$

$k < -\frac{3}{2}$

(ii) より、

$D = 4k^2 - 4(2k^2 + 3k) < 0$

$4k^2 - 8k^2 - 12k < 0$

$-4k^2 - 12k < 0$

$4k^2 + 12k > 0$

$4k(k+3) > 0$

$k(k+3) > 0$

$k < -3$ または $k > 0$

(i) と (ii) の両方を満たす $k$ の範囲は、

$k < -\frac{3}{2}$ かつ ($k < -3$ または $k > 0$) なので、

$k < -3$

3. 最終的な答え

(1) $k > 0$

(2) $k < -3$