与えられた3x3行列の逆行列を求める問題です。行列は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を求める問題です。行列は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

1 & 1 & -1 \\

-1 & 1 & 5

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、いくつかの方法があります。ここでは、掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）を用いて解きます。

ステップ1: 与えられた行列$A$に単位行列$I$を並べた拡大行列$[A|I]$を作成します。

$[A|I] = \begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & | & 1 & 0 & 0 \\

1 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\

-1 & 1 & 5 & | & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

ステップ2: 行基本変形を行い、左側の行列$A$を単位行列$I$に変形します。この時、右側の行列が逆行列$A^{-1}$となります。

まず、2行目から1行目を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 2 & 2 & | & -1 & 1 & 0 \\

-1 & 1 & 5 & | & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

次に、3行目に1行目を足します ($R_3 \rightarrow R_3 + R_1$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 2 & 2 & | & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

次に、2行目を2で割ります ($R_2 \rightarrow \frac{1}{2}R_2$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 1 & | & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\

0 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

次に、3行目を2で割ります ($R_3 \rightarrow \frac{1}{2}R_3$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 1 & | & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}$

次に、2行目から3行目を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_3$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & | & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}$

次に、1行目に2行目を足します ($R_1 \rightarrow R_1 + R_2$):

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -3 & | & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}$

最後に、1行目に3行目の3倍を足します ($R_1 \rightarrow R_1 + 3R_3$):

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & | & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\

0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}$

ステップ3: 右側の行列が逆行列 $A^{-1}$ となります。

3. 最終的な答え

逆行列は次の通りです。

$A^{-1} = \begin{pmatrix}

\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\

-1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}$