(9) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たすとき、$y^2 - 2x$ がとり得る値の最大値と最小値を求めよ。 (10) 2次不等式 $x^2 + ax + a > 0$ が任意の実数 $x$ に対して成り立つような $a$ の範囲を求めよ。 (11) $x$ の 2 次不等式 $ax^2 + bx - 6 < 0$ の解が $x < -3$, $-1 < x$ となるように、定数 $a, b$ を定めよ。

1. 問題の内容

(9) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たすとき、$y^2 - 2x$ がとり得る値の最大値と最小値を求めよ。

(10) 2次不等式 $x^2 + ax + a > 0$ が任意の実数 $x$ に対して成り立つような $a$ の範囲を求めよ。

(11) $x$ の 2 次不等式 $ax^2 + bx - 6 < 0$ の解が $x < -3$, $-1 < x$ となるように、定数 $a, b$ を定めよ。

2. 解き方の手順

(9)

$x^2 + y^2 = 4$ より、$x = 2\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ とおくことができる。

このとき、$y^2 - 2x = (2\sin\theta)^2 - 2(2\cos\theta) = 4\sin^2\theta - 4\cos\theta = 4(1 - \cos^2\theta) - 4\cos\theta = -4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 4$ となる。

$t = \cos\theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、求める値は $f(t) = -4t^2 - 4t + 4$ の $-1 \le t \le 1$ における最大値と最小値を求めれば良い。

$f(t) = -4(t^2 + t) + 4 = -4\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + 1 + 4 = -4\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + 5$

よって、$t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $5$ をとり、$t = 1$ のとき最小値 $-4 - 4 + 4 = -4$ をとる。

(10)

2次不等式 $x^2 + ax + a > 0$ が任意の実数 $x$ に対して成り立つためには、判別式 $D$ が $D < 0$ である必要がある。

$D = a^2 - 4a < 0$

$a(a - 4) < 0$

$0 < a < 4$

(11)

2次不等式 $ax^2 + bx - 6 < 0$ の解が $x < -3$, $-1 < x$ となるのは、$a > 0$ であり、解が $x = -3$ と $x = -1$ であるときである。

つまり、$ax^2 + bx - 6 = a(x + 3)(x + 1) = a(x^2 + 4x + 3) = ax^2 + 4ax + 3a$ となる。

したがって、$b = 4a$ であり、$-6 = 3a$ となる。

よって、$a = -2$ である。

しかし、$a > 0$ である必要があるので、$a < 0$ で、$-3$ と $-1$ が解となる必要がある。

$a(x + 3)(x + 1) > 0$ となるので、$a < 0$ である。

$-3$ と $-1$ が解なので、$ax^2 + bx - 6 = a(x + 3)(x + 1) = a(x^2 + 4x + 3) = ax^2 + 4ax + 3a > 0$ となる。

$3a = -6$ より $a = -2$

$b = 4a = -8$

したがって、$-2x^2 - 8x - 6 < 0$ を解くと、$x^2 + 4x + 3 > 0$

$(x + 3)(x + 1) > 0$ より、$x < -3, -1 < x$ となる。

3. 最終的な答え

(9) 最大値: 5, 最小値: -4

(10) $0 < a < 4$

(11) $a = -2, b = -8$