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次の連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。 $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

代数学連立一次方程式逆行列行列式余因子行列
2025/6/3

1. 問題の内容

次の連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。
(1−2321−2131)(xyz)=(−121)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行列を A=(1−2321−2131)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}、ベクトルを X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}、B=(−121)B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} とすると、AX=BAX = B と表せます。
X=A−1BX = A^{-1}B より、AA の逆行列 A−1A^{-1} を求める必要があります。
まず、AA の行列式 ∣A∣|A| を計算します。
∣A∣=1⋅(1⋅1−(−2)⋅3)−(−2)⋅(2⋅1−(−2)⋅1)+3⋅(2⋅3−1⋅1)|A| = 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 3) - (-2) \cdot (2 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 3 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1)
=1⋅(1+6)+2⋅(2+2)+3⋅(6−1)= 1 \cdot (1 + 6) + 2 \cdot (2 + 2) + 3 \cdot (6 - 1)
=7+8+15=30= 7 + 8 + 15 = 30
次に、AA の余因子行列 CC を計算します。
C11=1⋅1−(−2)⋅3=7C_{11} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 3 = 7
C12=−(2⋅1−(−2)⋅1)=−4C_{12} = -(2 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) = -4
C13=2⋅3−1⋅1=5C_{13} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5
C21=−((−2)⋅1−3⋅3)=−(−2−9)=11C_{21} = -((-2) \cdot 1 - 3 \cdot 3) = -(-2 - 9) = 11
C22=1⋅1−3⋅1=−2C_{22} = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = -2
C23=−(1⋅3−(−2)⋅1)=−(3+2)=−5C_{23} = -(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1) = -(3 + 2) = -5
C31=(−2)⋅(−2)−3⋅1=4−3=1C_{31} = (-2) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1
C32=−(1⋅(−2)−3⋅2)=−(−2−6)=8C_{32} = -(1 \cdot (-2) - 3 \cdot 2) = -(-2 - 6) = 8
C33=1⋅1−(−2)⋅2=1+4=5C_{33} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 1 + 4 = 5
したがって、余因子行列 C=(7−4511−2−5185)C = \begin{pmatrix} 7 & -4 & 5 \\ 11 & -2 & -5 \\ 1 & 8 & 5 \end{pmatrix} となります。
AA の逆行列 A−1A^{-1} は、A−1=1∣A∣CTA^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T で求められます。
CT=(7111−4−285−55)C^T = \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & -2 & 8 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix}
A−1=130(7111−4−285−55)A^{-1} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & -2 & 8 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix}
最後に、X=A−1BX = A^{-1}B を計算します。
X=130(7111−4−285−55)(−121)=130(−7+22+14−4+8−5−10+5)=130(168−10)=(8/154/15−1/3)X = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 7 & 11 & 1 \\ -4 & -2 & 8 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} -7 + 22 + 1 \\ 4 - 4 + 8 \\ -5 - 10 + 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 16 \\ 8 \\ -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/15 \\ 4/15 \\ -1/3 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

x=815,y=415,z=−13x = \frac{8}{15}, y = \frac{4}{15}, z = -\frac{1}{3}

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