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与えられた式を簡単にします。式は、$\frac{1}{\sqrt{2n+3} - \sqrt{2n}}$ です。

代数学式の簡約有理化根号
2025/6/3

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にします。式は、12n+3−2n\frac{1}{\sqrt{2n+3} - \sqrt{2n}} です。

2. 解き方の手順

与えられた式を簡単にするために、分母を有利化します。
分母の共役な式である 2n+3+2n\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n} を分母と分子に掛けます。
12n+3−2n=12n+3−2n⋅2n+3+2n2n+3+2n\frac{1}{\sqrt{2n+3} - \sqrt{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2n+3} - \sqrt{2n}} \cdot \frac{\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n}}{\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n}}
分子は 2n+3+2n\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n} となります。
分母は (2n+3−2n)(2n+3+2n)=(2n+3)2−(2n)2=(2n+3)−(2n)=3(\sqrt{2n+3} - \sqrt{2n})(\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n}) = (\sqrt{2n+3})^2 - (\sqrt{2n})^2 = (2n+3) - (2n) = 3 となります。
したがって、式は次のようになります。
2n+3+2n3\frac{\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n}}{3}

3. 最終的な答え

2n+3+2n3\frac{\sqrt{2n+3} + \sqrt{2n}}{3}

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