与えられた8つの二次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 + 8x - 9 > 0$ (2) $x^2 - 4x + 1 \leq 0$ (3) $3x^2 - x - 2 \leq 0$ (4) $25 - x^2 < 0$ (5) $x^2 + x + 1 > 0$ (6) $9x^2 + 6x + 1 \leq 0$ (7) $x^2 - 2x + 3 \leq 0$ (8) $x^2 - 10x + 25 > 0$

1. 問題の内容

与えられた8つの二次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 + 8x - 9 > 0$

(2) $x^2 - 4x + 1 \leq 0$

(3) $3x^2 - x - 2 \leq 0$

(4) $25 - x^2 < 0$

(5) $x^2 + x + 1 > 0$

(6) $9x^2 + 6x + 1 \leq 0$

(7) $x^2 - 2x + 3 \leq 0$

(8) $x^2 - 10x + 25 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 8x - 9 > 0$

因数分解すると、 $(x + 9)(x - 1) > 0$

よって、 $x < -9$ または $x > 1$

(2) $x^2 - 4x + 1 \leq 0$

解の公式を用いると、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

よって、$2 - \sqrt{3} \leq x \leq 2 + \sqrt{3}$

(3) $3x^2 - x - 2 \leq 0$

因数分解すると、 $(3x + 2)(x - 1) \leq 0$

よって、$-\frac{2}{3} \leq x \leq 1$

(4) $25 - x^2 < 0$

$x^2 - 25 > 0$

因数分解すると、 $(x - 5)(x + 5) > 0$

よって、 $x < -5$ または $x > 5$

(5) $x^2 + x + 1 > 0$

判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$

$x^2 + x + 1$ は常に正なので、すべての実数 $x$ で成り立つ。

よって、すべての実数

(6) $9x^2 + 6x + 1 \leq 0$

因数分解すると、 $(3x + 1)^2 \leq 0$

$(3x+1)^2$ は常に0以上なので、$3x+1=0$のときのみ不等式が成り立つ。

よって、$x = -\frac{1}{3}$

(7) $x^2 - 2x + 3 \leq 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$

$x^2 - 2x + 3$ は常に正なので、解なし。

よって、解なし

(8) $x^2 - 10x + 25 > 0$

因数分解すると、 $(x - 5)^2 > 0$

$(x-5)^2$は常に0以上なので、$x=5$以外のすべての実数で不等式が成り立つ。

よって、$x \neq 5$

3. 最終的な答え

(1) $x < -9$ または $x > 1$

(2) $2 - \sqrt{3} \leq x \leq 2 + \sqrt{3}$

(3) $-\frac{2}{3} \leq x \leq 1$

(4) $x < -5$ または $x > 5$

(5) すべての実数

(6) $x = -\frac{1}{3}$

(7) 解なし

(8) $x \neq 5$