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与えられた3x3行列式の値を求める問題です。ただし、余因子展開を使うように指示されています。行列式は次の通りです。 $\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix}$

代数学行列式余因子展開線形代数
2025/5/31

1. 問題の内容

与えられた3x3行列式の値を求める問題です。ただし、余因子展開を使うように指示されています。行列式は次の通りです。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列の性質を利用して、行列式を変形します。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
x & y & z \\
x & y & z
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
x & y & z
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
x & y & z \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
x & y & z \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
x & y & z
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a & x & y \\
b & y & z \\
c & z & z
\end{vmatrix}
というように分解できます。
行列の中に同じ行や列があると、行列式はゼロになります。
そこで、以下のように行列式を分解します。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix}$
行列式を次のように分解します。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}$
+∣aaabbbzzz∣ + \begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ z & z & z \end{vmatrix}
+∣xxxbbbccc∣ + \begin{vmatrix} x & x & x \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix}
+∣xyzxyzzzz∣ + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ z & z & z \end{vmatrix}
∣a+xa+ya+zb+xb+yb+zc+xc+yc+z∣=∣abcxyzxyz∣ \begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}
第1列に関して余因子展開をすると、以下のようになります。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = (a+x)\begin{vmatrix} b+y & b+z \\ c+y & c+z \end{vmatrix} - (b+x)\begin{vmatrix} a+y & a+z \\ c+y & c+z \end{vmatrix} + (c+x)\begin{vmatrix} a+y & a+z \\ b+y & b+z \end{vmatrix}$
=(a+x)((b+y)(c+z)−(b+z)(c+y))−(b+x)((a+y)(c+z)−(a+z)(c+y))+(c+x)((a+y)(b+z)−(a+z)(b+y))= (a+x)((b+y)(c+z)-(b+z)(c+y)) - (b+x)((a+y)(c+z)-(a+z)(c+y)) + (c+x)((a+y)(b+z)-(a+z)(b+y))
=(a+x)(bc+bz+cy+yz−bc−by−cz−yz)−(b+x)(ac+az+cy+yz−ac−ay−cz−yz)+(c+x)(ab+az+by+yz−ab−bz−ay−yz)= (a+x)(bc+bz+cy+yz-bc-by-cz-yz) - (b+x)(ac+az+cy+yz-ac-ay-cz-yz) + (c+x)(ab+az+by+yz-ab-bz-ay-yz)
=(a+x)(bz+cy−by−cz)−(b+x)(az+cy−ay−cz)+(c+x)(az+by−bz−ay)= (a+x)(bz+cy-by-cz) - (b+x)(az+cy-ay-cz) + (c+x)(az+by-bz-ay)
=a(bz+cy−by−cz)+x(bz+cy−by−cz)−b(az+cy−ay−cz)−x(az+cy−ay−cz)+c(az+by−bz−ay)+x(az+by−bz−ay)= a(bz+cy-by-cz) + x(bz+cy-by-cz) - b(az+cy-ay-cz) - x(az+cy-ay-cz) + c(az+by-bz-ay) + x(az+by-bz-ay)
=abz+acy−aby−acz+xbz+xcy−xby−xcz−abz−bcy+aby+bcz−xaz−xcy+xay+xcz+acz+bcy−bcz−acy+xaz+xby−xbz−xay= abz+acy-aby-acz+xbz+xcy-xby-xcz - abz-bcy+aby+bcz-xaz-xcy+xay+xcz + acz+bcy-bcz-acy+xaz+xby-xbz-xay
=0= 0

3. 最終的な答え

0

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