与えられた分数式 $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算し、簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算し、簡単にせよ。

2. 解き方の手順

この分数の分母を有理化するために、分母の共役複素数 $2\sqrt{3} + \sqrt{2}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 + \sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 5\sqrt{6}$

分母を展開します。

$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{10 + 5\sqrt{6}}{10} = \frac{10}{10} + \frac{5\sqrt{6}}{10} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$