与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n + \frac{1}{2} = 0$ (2) $a_1 = -1$, $a_{n+1} + a_n = 0$ (3) $a_1 = 3$, $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

はい、承知いたしました。数列の問題ですね。3つの小問があるので、それぞれ解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n + \frac{1}{2} = 0$

(2) $a_1 = -1$, $a_{n+1} + a_n = 0$

(3) $a_1 = 3$, $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

2. 解き方の手順

(1)

これは階差数列の形をしています。

$a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{2}$

これは公差が $-\frac{1}{2}$ の等差数列なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d$

に、$a_1 = 2$, $d = -\frac{1}{2}$ を代入して求めます。

(2)

$a_{n+1} = -a_n$

これは等比数列の形をしています。公比は $-1$ です。

$a_n = a_1 r^{n-1}$

に、$a_1 = -1$, $r = -1$ を代入して求めます。

(3)

$2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

$a_{n+1} - a_n = 2n^2 + n - \frac{1}{2}$

これは階差数列の形をしています。$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、$b_n = 2n^2 + n - \frac{1}{2}$ です。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k - \frac{1}{2})$

$a_1 = 3$ を代入して、$\sum$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$, $\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

を用いると、

$a_n = 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{1}{2} (n-1)$

整理します。

3. 最終的な答え

(1)

$a_n = 2 + (n-1) \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}n$

$a_n = -\frac{1}{2}n + \frac{5}{2}$

(2)

$a_n = -1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^n$

$a_n = (-1)^n$

(3)

$a_n = 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{3} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{1}{2}(n-1)$

$= 3 + \frac{n(n-1)}{6} (2(2n-1) + 3 - 3)$

$= 3 + \frac{n(n-1)}{6} (4n-2)$

$= 3 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{3}$

$= 3 + \frac{n(2n^2 -3n+1)}{3}$

$= 3 + \frac{2n^3 -3n^2 +n}{3}$

$= \frac{2n^3 -3n^2 +n + 9}{3}$

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 9}{3}$