## 問題の内容

## 問題の内容

与えられたベクトル $\mathbf{a}$ が、与えられたベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の1次結合で表せるための条件を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について、$a$ あるいは $a, b$ の条件を求めます。

(1)

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2)

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

## 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{a}$ がベクトル $\mathbf{b}_1$ と $\mathbf{b}_2$ の1次結合で表せるということは、あるスカラー $x$ と $y$ が存在して、

$\mathbf{a} = x\mathbf{b}_1 + y\mathbf{b}_2$

が成り立つということです。この式を各成分ごとに書き下し、連立方程式を解くことで、$a$ または $a, b$ の条件を求めることができます。

**(1) の場合**

1次結合の式は以下のようになります。

$\begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

この式を成分ごとに書き出すと、以下の連立方程式が得られます。

$a = x + 2y$

$2 = 2x + 3y$

$3 = x + y$

3番目の式より $x = 3 - y$ であるため、これを2番目の式に代入すると、

$2 = 2(3 - y) + 3y = 6 - 2y + 3y = 6 + y$

よって、$y = 2 - 6 = -4$。

これを $x = 3 - y$ に代入すると、$x = 3 - (-4) = 7$。

これらを1番目の式に代入すると、

$a = 7 + 2(-4) = 7 - 8 = -1$

**(2) の場合**

1次結合の式は以下のようになります。

$\begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

この式を成分ごとに書き出すと、以下の連立方程式が得られます。

$0 = x + y$

$a = -x + y$

$b = x + 3y$

1番目の式より $x = -y$ であるため、これを2番目の式に代入すると、

$a = -(-y) + y = 2y$

また、3番目の式に代入すると、

$b = -y + 3y = 2y$

したがって、$a = 2y$ かつ $b = 2y$ であるため、$a = b$ が条件となります。

## 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $a = b$