$ \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} $ の根号を、与えられた $a$ の範囲で外して、式を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2}$ の根号を、与えられた $a$ の範囲で外して、式を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2} = |x|$ であることを利用します。

(1) $a \geq 3$ の場合

$a \geq 3$ なので、$a-1 \geq 2 > 0$ かつ $a-3 \geq 0$ です。

したがって、

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = a-1$

$\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = a-3$

よって、

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = (a-1) + (a-3) = 2a - 4$

(2) $1 \leq a < 3$ の場合

$1 \leq a < 3$ なので、$a-1 \geq 0$ かつ $a-3 < 0$ です。

したがって、

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = a-1$

$\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = -(a-3) = 3-a$

よって、

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = (a-1) + (3-a) = 2$

(3) $a < 1$ の場合

$a < 1$ なので、$a-1 < 0$ かつ $a-3 < -2 < 0$ です。

したがって、

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = -(a-1) = 1-a$

$\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = -(a-3) = 3-a$

よって、

$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = (1-a) + (3-a) = 4 - 2a$

3. 最終的な答え

(1) $a \geq 3$ のとき、$2a - 4$

(2) $1 \leq a < 3$ のとき、$2$

(3) $a < 1$ のとき、$4 - 2a$