与えられた式 $(a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{-\frac{1}{4}})$ を計算し、できるだけ簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{-\frac{1}{4}})$ を計算し、できるだけ簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a^{\frac{1}{4}} + b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{-\frac{1}{4}})$ を計算します。これは和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を使って展開できます。

この場合、$x = a^{\frac{1}{4}}$、$y = b^{-\frac{1}{4}}$ です。

したがって、

$(a^{\frac{1}{4}} + b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{-\frac{1}{4}}) = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{-\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}}$

次に、この結果を元の式に代入します。

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}})$

これも和と差の積の公式を使って展開できます。

この場合、$x = a^{\frac{1}{2}}$、$y = b^{-\frac{1}{2}}$ です。

したがって、

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{-\frac{1}{2}})^2 = a - b^{-1} = a - \frac{1}{b}$

3. 最終的な答え

$a - \frac{1}{b}$