次の連立一次方程式が解を持つように、$a$ の値を定め、解を求めよ。 $\begin{cases} x_1 - 2x_2 - 8x_3 + 2x_4 = 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 - x_4 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 - x_4 = a \\ 5x_1 + 2x_2 - 4x_3 + 2x_4 = a \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立一次方程式が解を持つように、$a$ の値を定め、解を求めよ。

$\begin{cases}

x_1 - 2x_2 - 8x_3 + 2x_4 = 2 \\

2x_1 + 3x_2 + 5x_3 - x_4 = 2 \\

x_1 + 2x_2 + 4x_3 - x_4 = a \\

5x_1 + 2x_2 - 4x_3 + 2x_4 = a

\end{cases}$

2. 解き方の手順

連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を作り、行基本変形を行って階段行列に変形させる。

拡大係数行列は以下の通り：

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

2 & 3 & 5 & -1 & 2 \\

1 & 2 & 4 & -1 & a \\

5 & 2 & -4 & 2 & a

\end{pmatrix}$

1行目を-2倍して2行目に足し、1行目を-1倍して3行目に足し、1行目を-5倍して4行目に足す。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

0 & 7 & 21 & -5 & -2 \\

0 & 4 & 12 & -3 & a-2 \\

0 & 12 & 36 & -8 & a-10

\end{pmatrix}$

2行目を4/7倍して3行目から引き、2行目を12/7倍して4行目から引く。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

0 & 7 & 21 & -5 & -2 \\

0 & 0 & 0 & -1/7 & a-2 + 8/7 \\

0 & 0 & 0 & 4/7 & a-10 + 24/7

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

0 & 7 & 21 & -5 & -2 \\

0 & 0 & 0 & -1/7 & a-6/7 \\

0 & 0 & 0 & 4/7 & a-46/7

\end{pmatrix}$

3行目を4倍して4行目に足す。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

0 & 7 & 21 & -5 & -2 \\

0 & 0 & 0 & -1/7 & a-6/7 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 5a - 70/7

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

0 & 7 & 21 & -5 & -2 \\

0 & 0 & 0 & -1/7 & a-6/7 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 5a - 10

\end{pmatrix}$

解を持つためには、$5a - 10 = 0$ である必要があるので、$a = 2$。

$a = 2$ を代入すると、

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -8 & 2 & 2 \\

0 & 7 & 21 & -5 & -2 \\

0 & 0 & 0 & -1/7 & 8/7

\end{pmatrix}$

$x_4 = -8$

$7x_2 + 21x_3 - 5x_4 = -2$

$7x_2 + 21x_3 + 40 = -2$

$7x_2 = -21x_3 - 42$

$x_2 = -3x_3 - 6$

$x_1 - 2x_2 - 8x_3 + 2x_4 = 2$

$x_1 - 2(-3x_3 - 6) - 8x_3 - 16 = 2$

$x_1 + 6x_3 + 12 - 8x_3 - 16 = 2$

$x_1 - 2x_3 - 4 = 2$

$x_1 = 2x_3 + 6$

3. 最終的な答え

$a = 2$

解は $x_1 = 2x_3 + 6, x_2 = -3x_3 - 6, x_4 = -8$ ( $x_3$は任意)