2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x - 4$ の定義域が $a \le x \le a+1$ であるときの最大値 $M(a)$ を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x - 4$ の定義域が $a \le x \le a+1$ であるときの最大値 $M(a)$ を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 4 = -(x - 3)^2 + 5$

よって、$f(x)$ は $x = 3$ で最大値 5 をとります。

定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x = 3$ の位置関係によって、最大値 $M(a)$ が変わります。

(i) $a+1 < 3$ つまり $a < 2$ のとき：

定義域の中で $x$ が最も大きい $x = a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 6(a+1) - 4 = -(a^2 + 2a + 1) + 6a + 6 - 4 = -a^2 + 4a + 1$

(ii) $a \le 3 \le a+1$ つまり $2 \le a \le 3$ のとき：

定義域の中に軸 $x = 3$ が含まれるので、$x = 3$ で最大値をとります。

$M(a) = f(3) = 5$

(iii) $a > 3$ のとき：

定義域の中で $x$ が最も小さい $x = a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 6a - 4$

したがって、

$a < 2$ のとき $M(a) = -a^2 + 4a + 1$

$2 \le a \le 3$ のとき $M(a) = 5$

$a > 3$ のとき $M(a) = -a^2 + 6a - 4$

ア：2

イ：4

ウ：1

エ：3

オ：5

カ：6

キ：4

3. 最終的な答え

$a < 2$ のとき、$M(a) = -a^2 + 4a + 1$

$2 \le a \le 3$ のとき、$M(a) = 5$

$3 < a$ のとき、$M(a) = -a^2 + 6a - 4$