$2^x - 2^{-x} = 3$ のとき、$2^{3x} - 2^{-3x}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$2^x - 2^{-x} = 3$ のとき、$2^{3x} - 2^{-3x}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2^x - 2^{-x} = 3$ という条件から、$2^{3x} - 2^{-3x}$ を導き出すことを考えます。

$2^{3x} - 2^{-3x}$ は $(2^x)^3 - (2^{-x})^3$ と書き換えられます。

ここで、$a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$ という因数分解の公式を利用します。

$a = 2^x$, $b = 2^{-x}$ とすると、

$2^{3x} - 2^{-3x} = (2^x - 2^{-x})^3 + 3(2^x)(2^{-x})(2^x - 2^{-x})$

となります。

$2^x - 2^{-x} = 3$ であり、$(2^x)(2^{-x}) = 2^{x-x} = 2^0 = 1$ であることから、

$2^{3x} - 2^{-3x} = (3)^3 + 3(1)(3) = 27 + 9 = 36$

となります。

3. 最終的な答え

36