$a>0$, $b>0$ のとき、次の式を計算する問題です。 $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{b^2})$

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$ のとき、次の式を計算する問題です。

$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{b^2})$

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{b})$ を計算します。これは $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ の公式を利用できます。

$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{b}) = (\sqrt[3]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b}$

次に、$(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{b^2})$ を計算します。これは $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$ の公式を利用できます。

$(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{b^2}) = (\sqrt[3]{a^2})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = a^2 - b$

3. 最終的な答え

$a^2 - b$