数列の和 $S$ を求める問題です。数列は $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \cdots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$ で表されます。

1. 問題の内容

数列の和 $S$ を求める問題です。数列は $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \cdots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \cdots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に $3$ をかけた $3S$ を書き下します。

$3S = 1\cdot 3 + 3\cdot 3^2 + 5\cdot 3^3 + \cdots + (2n-3)\cdot 3^{n-1} + (2n-1)\cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + \cdots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}) - (1\cdot 3 + 3\cdot 3^2 + 5\cdot 3^3 + \cdots + (2n-3)\cdot 3^{n-1} + (2n-1)\cdot 3^n)$

$-2S = 1 + 2\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \cdots + 2\cdot 3^{n-1} - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n-1)\cdot 3^n$

括弧の中身は等比数列の和なので、公式を用いて計算します。

$3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

これを代入します。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1)\cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n\cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2\cdot 3^n - 2 - 2n\cdot 3^n$

$-2S = (2 - 2n)3^n - 2$

$S = (n - 1)3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n - 1)3^n + 1$