定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の区間 $0 \le x \le 1$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の区間 $0 \le x \le 1$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x-a)^2$.

したがって、この関数の頂点は $(a, 0)$ である。軸は $x = a$ である。定義域が $0 \le x \le 1$ であることに注意して、軸の位置によって場合分けを行う。

(1) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ において関数は単調増加する。したがって、最小値は $x = 0$ のときにとる。

$x = 0$ のとき、 $y = 2(0)^2 - 4a(0) + 2a^2 = 2a^2$.

(2) $0 \le a \le 1$ のとき、頂点 $x = a$ が区間内にある。したがって、最小値は $x = a$ のときにとる。

$x = a$ のとき、$y = 2(a-a)^2 = 0$.

(3) $a > 1$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ において関数は単調減少する。したがって、最小値は $x = 1$ のときにとる。

$x = 1$ のとき、 $y = 2(1)^2 - 4a(1) + 2a^2 = 2 - 4a + 2a^2 = 2(a^2 - 2a + 1) = 2(a-1)^2$.

3. 最終的な答え

最小値は

$a < 0$ のとき $2a^2$,

$0 \le a \le 1$ のとき $0$,

$a > 1$ のとき $2(a-1)^2$.