与えられた3つの連立一次方程式の解が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた3つの連立一次方程式の解が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

2. 解き方の手順

(1) の場合：

連立一次方程式は次の通りです。

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 5$

まず、第1式を2倍して第2式から引きます。

$2(x - y + 2z) - (2x + 2y - 3z) = 2(3) - 1$

$2x - 2y + 4z - 2x - 2y + 3z = 6 - 1$

$-4y + 7z = 5$

次に、第1式を3倍して第3式から引きます。

$3(x - y + 2z) - (3x + y - z) = 3(3) - 5$

$3x - 3y + 6z - 3x - y + z = 9 - 5$

$-4y + 7z = 4$

ここで、$-4y + 7z = 5$と$-4y + 7z = 4$という2つの式が得られました。これは矛盾しているので、解は存在しません。

(2) の場合：

連立一次方程式は次の通りです。

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 4$

(1)と同様に計算します。

$2(x - y + 2z) - (2x + 2y - 3z) = 2(3) - 1$

$-4y + 7z = 5$

$3(x - y + 2z) - (3x + y - z) = 3(3) - 4$

$-4y + 7z = 5$

したがって、$-4y + 7z = 5$という条件が得られます。

第1式から $x = y - 2z + 3$なので、第2式に代入します。

$2(y - 2z + 3) + 2y - 3z = 1$

$2y - 4z + 6 + 2y - 3z = 1$

$4y - 7z = -5$

これは $-4y + 7z = 5$と同じなので、式は一つにまとまります。

$z = t$ とおくと、 $4y = 7t - 5$ より $y = \frac{7}{4}t - \frac{5}{4}$

$x = y - 2z + 3 = \frac{7}{4}t - \frac{5}{4} - 2t + 3 = -\frac{1}{4}t + \frac{7}{4}$

よって、解は $x = -\frac{1}{4}t + \frac{7}{4}$, $y = \frac{7}{4}t - \frac{5}{4}$, $z = t$ （$t$は任意の実数）

(3) の場合：

連立一次方程式は次の通りです。

$x + y + 3z - w = 1$

$3x + 2y + z + w = 2$

$x - y - 2z + 4w = 3$

$2x + 3y - z + 3w = 0$

この連立一次方程式は、行列を用いて解くことができます。

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

3 & 2 & 1 & 1 & 2 \\

1 & -1 & -2 & 4 & 3 \\

2 & 3 & -1 & 3 & 0

\end{bmatrix}$

この行列を簡約化します。

まず、2行目から1行目の3倍を引きます。

3行目から1行目を引きます。

4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

0 & -1 & -8 & 4 & -1 \\

0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\

0 & 1 & -7 & 5 & -2

\end{bmatrix}$

2行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\

0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\

0 & 1 & -7 & 5 & -2

\end{bmatrix}$

3行目に2行目の2倍を足します。

4行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\

0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\

0 & 0 & -15 & 9 & -3

\end{bmatrix}$

3行目を11で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11} & \frac{4}{11} \\

0 & 0 & -15 & 9 & -3

\end{bmatrix}$

4行目に3行目の15倍を足します。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11} & \frac{4}{11} \\

0 & 0 & 0 & \frac{54}{11} & \frac{27}{11}

\end{bmatrix}$

4行目を$\frac{54}{11}$で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11} & \frac{4}{11} \\

0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2}

\end{bmatrix}$

$w = \frac{1}{2}$

$z = \frac{3}{11}w + \frac{4}{11} = \frac{3}{11}*\frac{1}{2} + \frac{4}{11} = \frac{3}{22} + \frac{8}{22} = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}$

$y = -8z + 4w + 1 = -8*\frac{1}{2} + 4*\frac{1}{2} + 1 = -4 + 2 + 1 = -1$

$x = -y - 3z + w + 1 = -(-1) - 3*\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 存在しない

(2) $x = -\frac{1}{4}t + \frac{7}{4}$, $y = \frac{7}{4}t - \frac{5}{4}$, $z = t$ （$t$は任意の実数）

(3) $x=1, y=-1, z=\frac{1}{2}, w=\frac{1}{2}$