与えられた三角関数の方程式を満たす $\theta$ の値を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ です。 (1) $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ (2) $|\cos\theta| = \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の方程式を満たす $\theta$ の値を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ です。

(1) $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

(2) $|\cos\theta| = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos^2\theta$ を $\sin^2\theta$ で表し、$\sin\theta$ に関する二次方程式を解きます。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ なので、与えられた方程式は、

$2(1 - \sin^2\theta) - \sin\theta - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

$-2\sin^2\theta - \sin\theta + 1 = 0$

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) = 0$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ または $\sin\theta = -1$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 30^\circ, 150^\circ$ です。

$\sin\theta = -1$ となるのは $\theta = 270^\circ$ ですが、これは範囲外なので解ではありません。

(2) $|\cos\theta| = \frac{1}{2}$ なので、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ または $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ です。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$ です。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 120^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

(2) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$