次の式を因数分解する問題です。 (1) $a^2 - 3ab - 18b^2$ (2) $4x^2 - 9y^2 + 4x + 1$ (3) $2x^2 - 7x + 3$ (4) $12x^2 - 8xy - 15y^2$ (5) $27x^3 + 8y^3$ (6) $x^2 - xy - 12y^2 - x + 11y - 2$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

(1) $a^2 - 3ab - 18b^2$

(2) $4x^2 - 9y^2 + 4x + 1$

(3) $2x^2 - 7x + 3$

(4) $12x^2 - 8xy - 15y^2$

(5) $27x^3 + 8y^3$

(6) $x^2 - xy - 12y^2 - x + 11y - 2$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 - 3ab - 18b^2$

この式は、aに関する二次式と見ることができます。定数項が $-18b^2$ なので、積が-18になる2つの数を見つけ、それらの和が-3になるようにします。その数は、3と-6です。よって、

$a^2 - 3ab - 18b^2 = (a + 3b)(a - 6b)$

(2) $4x^2 - 9y^2 + 4x + 1$

この式は、まず $4x^2 + 4x + 1$ を $(2x+1)^2$ と因数分解できることに気づきます。すると、元の式は $(2x+1)^2 - 9y^2$ となります。これは平方の差なので、以下のように因数分解できます。

$(2x+1)^2 - (3y)^2 = (2x + 1 + 3y)(2x + 1 - 3y)$

(3) $2x^2 - 7x + 3$

この式は、xに関する二次式です。たすき掛けを使って因数分解します。

$2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)$

(4) $12x^2 - 8xy - 15y^2$

この式は、xとyに関する二次式です。たすき掛けを使って因数分解します。

$12x^2 - 8xy - 15y^2 = (6x + 5y)(2x - 3y)$

(5) $27x^3 + 8y^3$

この式は、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$27x^3 + 8y^3 = (3x)^3 + (2y)^3 = (3x + 2y)((3x)^2 - (3x)(2y) + (2y)^2) = (3x + 2y)(9x^2 - 6xy + 4y^2)$

(6) $x^2 - xy - 12y^2 - x + 11y - 2$

この式は、まず $x^2 - xy - 12y^2$ の部分を因数分解します。$x^2 - xy - 12y^2 = (x-4y)(x+3y)$

次に、与式を $(x-4y)(x+3y) - x + 11y - 2$ と変形します。

ここで、$x-4y = A$ と置換すると、$x = A+4y$ となります。これを式に代入すると、

$A(A+4y+3y) - (A+4y) + 11y - 2 = A(A+7y) - A -4y + 11y - 2 = A^2 + 7yA - A + 7y - 2$

$A^2 + (7y-1)A + (7y-2)$

これを因数分解すると、$(A+1)(A+7y-2)$

$A$ を元に戻すと、$(x-4y+1)(x-4y+7y-2) = (x-4y+1)(x+3y-2)$

3. 最終的な答え

(1) $(a + 3b)(a - 6b)$

(2) $(2x + 3y + 1)(2x - 3y + 1)$

(3) $(2x - 1)(x - 3)$

(4) $(6x + 5y)(2x - 3y)$

(5) $(3x + 2y)(9x^2 - 6xy + 4y^2)$

(6) $(x - 4y + 1)(x + 3y - 2)$