与えられた式 $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ を簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ を簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身である $11-6\sqrt{2}$ を $(a-b)^2$ の形に変形することを試みます。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ なので、$11-6\sqrt{2}$ と比較すると、

$2ab = 6\sqrt{2}$ より $ab = 3\sqrt{2}$ である。

$a^2 + b^2 = 11$ である。

$ab = 3\sqrt{2}$ より、$a = 3$, $b = \sqrt{2}$ とすると、$a^2 = 9$, $b^2 = 2$ なので、$a^2+b^2 = 9+2 = 11$ となり条件を満たす。

したがって、$11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ となる。

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = |3-\sqrt{2}| = 3-\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{2}$