(1) $x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ が与えられている。 - $x=3$ がこの不等式を満たすときの $a$ の範囲を求める。 - 不等式を満たす実数 $x$ が存在するときの $a$ の範囲と、そのときの不等式の解を求める。 (2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、小数第1位を四捨五入すると整数 $7x+1$ に等しくなる。このような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ が与えられている。

- $x=3$ がこの不等式を満たすときの $a$ の範囲を求める。

- 不等式を満たす実数 $x$ が存在するときの $a$ の範囲と、そのときの不等式の解を求める。

(2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、小数第1位を四捨五入すると整数 $7x+1$ に等しくなる。このような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、不等式を $x$ について解くことを考える。

不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ は、以下の2つの不等式に分解できる。

- $\frac{x+a}{2} < x+2$

- $x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$

それぞれの不等式を解く。

- $\frac{x+a}{2} < x+2$ より、$x+a < 2x+4$ 、よって $x > a-4$

- $x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ より、$3x+6 < 2x+2a+7$ 、よって $x < 2a+1$

したがって、$a-4 < x < 2a+1$ となる。

- $x=3$ が不等式を満たすとき、$a-4 < 3 < 2a+1$ である。

- $a-4 < 3$ より、$a < 7$

- $3 < 2a+1$ より、$2a > 2$ 、よって $a > 1$

したがって、$1 < a < 7$

- 不等式を満たす実数 $x$ が存在するためには、$a-4 < 2a+1$ である必要がある。

$a-4 < 2a+1$ より、$a > -5$

- $a > -5$ のとき、解は $a-4 < x < 2a+1$ となる。

(2) $\frac{5x+19}{2}$ を四捨五入した値が $7x+1$ に等しいとき、

$7x+1-0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1+0.5$

$7x+0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1.5$

$14x+1 \le 5x+19 < 14x+3$

これを2つの不等式に分解する。

- $14x+1 \le 5x+19$ より $9x \le 18$ よって $x \le 2$

- $5x+19 < 14x+3$ より $9x > 16$ よって $x > \frac{16}{9}$

したがって $\frac{16}{9} < x \le 2$

四捨五入した結果が $7x+1$ なので、$\frac{5x+19}{2}$ の値は $7x+1$ の近傍にあるはずである。

$x=2$ のとき、$\frac{5x+19}{2} = \frac{10+19}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$ であり、$7x+1 = 7(2)+1 = 15$ である。四捨五入すると15になるので、$x=2$ は解の一つである。

$x = \frac{17}{9}$ のとき, $7x+1 = 7(\frac{17}{9}) + 1 = \frac{119}{9} + \frac{9}{9} = \frac{128}{9} \approx 14.22$ であり, $\frac{5x+19}{2} = \frac{5(17/9)+19}{2} = \frac{85/9+171/9}{2} = \frac{256/9}{2} = \frac{128}{9} \approx 14.22$ より, $x=\frac{17}{9}$ も解になる.

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: 7

ウエ: -5

オ: -4

カ: 2

キ: 1

(2)

クケ: 17

コ: 9

サ: 2