$2 \le c \le 3$ を満たす定数 $c$ がある。2次関数 $y = x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと、 $y = x^2 - 2(c+ \boxed{\text{ア}}) x + c(c+ \boxed{\text{イ}})$ となる。 さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\boxed{\text{ウ}} + \sqrt{\boxed{\text{エ}}}$, $y$ 軸方向に $\boxed{\text{オカ}}$ だけ平行移動したものである。

1. 問題の内容

$2 \le c \le 3$ を満たす定数 $c$ がある。2次関数 $y = x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと、

$y = x^2 - 2(c+ \boxed{\text{ア}}) x + c(c+ \boxed{\text{イ}})$ となる。

さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\boxed{\text{ウ}} + \sqrt{\boxed{\text{エ}}}$, $y$ 軸方向に $\boxed{\text{オカ}}$ だけ平行移動したものである。

2. 解き方の手順

まず、グラフ $G$ が $x$ 軸と $x = c$ および $x = c+4$ で交わることから、

$y = (x-c)(x-(c+4))$

$= x^2 - (c+c+4)x + c(c+4)$

$= x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$

よって、アには2、イには4が入る。

次に、$G$ が点 $(3, -1)$ を通ることから、

$-1 = 3^2 - 2(c+2)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 1 + 1 + 12 - 9 = 0$

$c^2 - 2c + 3 = 0$

$c^2 - 2c + 1 = -3 + 1 = -2$

$(c-1)^2 = -2$

これは誤り。

$-1 = 3^2 - 2(c+2)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6(c+2) + c^2 + 4c$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 4 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

$2 \le c \le 3$ であるから、 $c = 1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

これは誤り。

$c = 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

これも誤り。

$y=x^2$のグラフを平行移動したものが$y=(x-c)(x-(c+4))=x^2-2(c+2)x+c(c+4)$である。

平方完成すると

$y=(x-(c+2))^2-(c+2)^2+c(c+4)$

$y=(x-(c+2))^2-c^2-4c-4+c^2+4c$

$y=(x-(c+2))^2-4$

これは頂点が$(c+2, -4)$であることを示している。

$y=x^2$のグラフの頂点は$(0,0)$なので、平行移動はx軸方向に$c+2$, y軸方向に$-4$である。

$c$は$c^2-2c-4=0$を満たすので、$c=1\pm\sqrt5$となる。$2\le c\le 3$は満たされない。

問題が間違っている可能性がある。

$c=1+\sqrt5$のとき、平行移動はx軸方向に$3+\sqrt5$, y軸方向に$-4$である。

$c=1-\sqrt5$のとき、平行移動はx軸方向に$3-\sqrt5$, y軸方向に$-4$である。

$c=3$と仮定すると、

$y = x^2 - 2(3+2)x + 3(3+4) = x^2 - 10x + 21$

$-1 = 9 - 30 + 21 = 0$これは異なる。

$y=x^2 - 2(c+2)x+c(c+4)$

$y=(x-(c+2))^2-(c+2)^2+c(c+4)$

$y=(x-(c+2))^2-4$

このグラフが$(3, -1)$を通るので

$-1=(3-(c+2))^2-4$

$(1-c)^2=3$

$1-2c+c^2=3$

$c^2-2c-2=0$

$c=1\pm\sqrt3$

$2\le c\le 3$より$c=1+\sqrt3\approx 2.732$

よって$c=1+\sqrt3$

x軸方向には$c+2=3+\sqrt3=3+\sqrt3$

y軸方向には$-4$である

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4